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Discusión
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Luego de obtener los resultados presentados en la sección anterior, se pueden
obsevar distintos aspectos tanto de los algoritmos como de los métodos.
Los mismos serán discutidos a continuación.
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Métodos de aproximación de la mantisa
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\begin_layout Standard
Se pudo observar a partir de las pruebas empíricas como cambia el resultado
al cambiar el algoritmo que ajusta la precisión de los numeros, tanto al
usar truncamiento como al usar redondeo.
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\begin_layout Standard
Se puede observar que el comportamiento en sí de los algoritmos no se ve
modificado al cambiar los métodos.
Es decir, los resultados en sí difieren al usar un método u otro, pero
la tendencia de los mismos no se ve afectada.
Esto se puede ver en los graficos.
Al compararlos podemos ver las distintas perturbaciones al usar un método
o el otro, pero ambos decaen en manera similar al aumentar la cantidad
de términos usados.
También la cantidad de iteraciones hasta lograr que el algoritmo se estabilice
en un resultado resulta del mismo orden.
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Comparando el método babilonio con redondeo y el método babilonio con truncamien
to, se puede ver que para ciertas precisiones y usando redondeo se llega
a un valor más preciso que para la misma precisión usando truncamiento.
Además se puede observar que, para ciertas precisiones, al utilizar el
método de truncamiento en vez del de redondeo, el algoritmo comete un error
mayor.
En este caso, dicho algoritmo no mejora ni subsana dicho error con más
iteraciones.
Lo que hace que en estos casos se aproxime con más error.
\end_layout
\begin_layout Standard
Si comparamos también el método de fracciones continuas simple usando redondeo
con él mismo usando truncamiento, se puede observar un comportamiento similar
a lo que ocurre con el babilonio.
Se puede ver que usando redondeo el error se estabiliza en ciertos entornos
con más de 20 iteraciones.
En cambio, al usar truncamiento, en los mismos lugares donde se estabiliza
con redondeo, se ve una fluctuación en el error acotada inferiormente por
donde se estabiliza con redondeo.
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\begin_layout Standard
Al comparar el método binomial decreciente usando truncamiento con su variante
usando redondeo, se puede ver como estos errores son menores.
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\begin_layout Subsection
Método Babilonio
\end_layout
\begin_layout Standard
Este método es el que mejores resultados obtiene de los tres propuestos.
El mismo encuentra el mejor resultado para una presicion
\begin_inset Formula $t$
\end_inset
dada (
\begin_inset Formula $t<52$
\end_inset
) al termino de 5 iteraciones.
Se puede observar en los gráficos como el error decae abruptamente hasta
estabilizarse en dicho valor.
\end_layout
\begin_layout Standard
Es decir, al aumentar la cantidad de iteraciones no siempre mejora la aproximaci
ón.
\end_layout
\begin_layout Subsection
Método Binomial
\end_layout
\begin_layout Standard
Este método resultó ser el más interesante para analizar.
El mismo no logra aproximar
\begin_inset Formula $\sqrt{2}$
\end_inset
con menor error que el resto de los métodos, pero es el que más interesante
nos resultó a nivel numérico.
\end_layout
\begin_layout Standard
A partir del análisis de los gráficos se puede observar como se diferencia
el comportamiento del método al implementarlo de manera creciente o decreciente.
Al comenzar la sumatoria con un
\begin_inset Formula $1$
\end_inset
, los errores que comete el algoritmo son más notables.
En cambio, cuando se comienza la sumatoria desde el término menos significativo
, el error no es tan notable.
Esto se debe a que al ser
\begin_inset Formula $\sqrt{2}$
\end_inset
un numero entre
\begin_inset Formula $1$
\end_inset
y
\begin_inset Formula $2$
\end_inset
.
Cuando se comienza con un uno, se obliga a que el exponente, del número
que acumula el resultado, quede fijo.
Haciendo imposible que los números más pequeños tengan influencia en él.
En cambio, cuando se comienza a sumar desde los números más pequeños, el
exponente se establece de forma tal de adecuarse al orden de magnitud de
los sumandos, haciendo que todos los números sean considerados en el resultado.
Esto se traduce en un error menor en los experimentos.
\end_layout
\begin_layout Standard
También, es importante notar que al se posible expresar la fórmula como
una sumatoria, a partir de cierta iteración (dependiente de la precisión)
los sumandos son despreciables para la precisión dada.
A partir de este punto no tiene sentido continuar realizando más iteraciones.
\end_layout
\begin_layout Standard
Otro aspecto interesante es ver como, para una cantidad de iteraciones dada,
a partir de cierta precisión (dependiente de la cantidad de iteraciones)
el resultado final no varía.
Por ejemplo, en el gráfico <ref>{bin-err-i:100.png} se puede observar que
para 100 iteraciones, a partir de 25 bits de precisión el resultado se
mantiene.
Se supone que esto se debe a que los términos de la sumatoria van decreciendo
hasta que no pueden ser representados con la cota de
\begin_inset Formula $52$
\end_inset
bits que se tomó.
\end_layout
\begin_layout Standard
También se puede observar en los gráficos la presencia de ciertos
\begin_inset Quotes eld
\end_inset
picos
\begin_inset Quotes erd
\end_inset
.
Suponemos que éstos son errores numéricos.
En particular, se puede ver el pico donde el error es menor a
\begin_inset Formula $10^{-6}$
\end_inset
, esto no significa un mejor cálculo, sino que es producto del error que
se comete.
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\begin_layout Subsection
Método de fracciones continuas
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\begin_layout Standard
Luego de implementar este método de la manera más simple, se trató de mejorar
dicha implementación como se explicó en la seccion de desarrollo.
Esta segunda implementación resltó ser peor que la inicial, ya que no mostró
un resultado superior y al alcanzar cierta cantidad de iteraciones, los
números que maneja el algoritmo son tan grandes que quedan por afuera del
rango representable.
Por esta razón, las pruebas anteriores se realizaron con la implementacion
inicial.
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\begin_layout Standard
Este método logra establizarse luego de pocas iteraciones, como se puede
observar.
Es decir, luego de esa cantidad de iteraciones, no mejora la aproximación.
En particular, se puede ver que para el rango de precisiones del trabajo,
no tiene sentido hacer más de 25 iteraciones.
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\begin_layout Standard
También se puede observar como el algoritmo se acerca de igual manera al
resultado, independentemente de la presicion con la que se trabaje.
Pero la precisión termina definiendo cuánto se acercará al valor buscado.
Es decir, con más precisión se acercará a un valor más próximo al buscado.
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