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\series bold
Laboratorio de Métodos Numéricos - Segundo cuatrimestre 2010
\newline
Trabajo Práctico Número 1: (L)a raí z del error
\newline
\end_layout
\begin_layout Standard
\series bold
\begin_inset ERT
status collapsed
\begin_layout Standard
\backslash
vskip
\end_layout
\end_inset
25pt
\begin_inset ERT
status collapsed
\begin_layout Standard
\backslash
hrule
\end_layout
\end_inset
\begin_inset ERT
status collapsed
\begin_layout Standard
\backslash
vskip
\end_layout
\end_inset
11pt
\end_layout
\begin_layout Standard
\series bold
El objetivo del trabajo práctico es realizar un análisis empírico de los siguientes métodos computacionales para calcular
\begin_inset Formula $\sqrt{2}$
\end_inset
:
\end_layout
\begin_layout Description
\series bold
Método de la serie binomial. En este método se considera la siguiente serie:
\begin_inset Formula \begin{equation*}
(1 + x)^n = 1 + n \, x + \frac{n \,(n - 1)}{2!} x^2 + \frac{n \, (n - 1) \, (n - 2)}{3!} x^3 + \dots
\end{equation*}
\end_inset
Para estimar
\begin_inset Formula $\sqrt{2}$
\end_inset
se suma una cantidad finita
\begin_inset Formula $k$
\end_inset
de términos de la serie, con
\begin_inset Formula $n = 1/2$
\end_inset
y
\begin_inset Formula $x = 1$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Description
\series bold
Método de las fracciones continuas. Este método consiste en sumar una cantidad finita
\begin_inset Formula $k$
\end_inset
de términos de la fracción continua
\begin_inset Formula \begin{equation*}
\sqrt{2} = 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \dots}}}
\end{equation*}
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Description
\series bold
Método babilonio. Este método es una adaptación del método de Newton-Raphson para este caso particular, pero es conocido desde por lo menos el siglo II A.C. Comenzando desde una aproximación A de
\begin_inset Formula $\sqrt{2}$
\end_inset
, se genera la siguiente sucesión, que converge al valor buscado:
\begin_inset Formula \begin{equation*}
\begin{aligned}
x_0 &= A \\
x_{n+1} &= \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{2}{x_n} \right)
\end{aligned}
\end{equation*}
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
\series bold
Se pide implementar un programa que estime
\begin_inset Formula $\sqrt{2}$
\end_inset
utilizando los 3 métodos con aritmética binaria en punto flotante de
\begin_inset Formula $t$
\end_inset
dígitos de precisión (el valor
\begin_inset Formula $t$
\end_inset
debe ser un parámetro de la implementación,
\begin_inset Formula $t < 52$
\end_inset
). >Existen formas alternativas de implementar cada uno de los métodos? Sobre la base de esta implementación, se pide realizar los siguientes experimentos numéricos:
\end_layout
\begin_layout Enumerate
\series bold
Graficar el error relativo de cada método en función de la cantidad
\begin_inset Formula $k$
\end_inset
de términos considerados. >A partir de qué cantidad de términos se puede detener cada método? >Es cierto que aumentar la cantidad de términos sumados siempre implica una mejor aproximación del valor real?
\end_layout
\begin_layout Enumerate
\series bold
Graficar el error relativo de cada método en función de la cantidad
\begin_inset Formula $t$
\end_inset
de dígitos de precisión para la aritmética de punto flotante.
\end_layout
\begin_layout Standard
\series bold
El informe debe contener una descripción detallada de las distintas alternativas que el grupo haya considerado para la implementación de la aritmética de punto flotante de
\begin_inset Formula $t$
\end_inset
dígitos de precisión, junto con una discusión de estas alternativas que justifique la opción implementada.
\end_layout
\begin_layout Standard
\series bold
Por otra parte, se debe incluir en la sección correspondiente el código que implementa esta aritmética, junto con todos los comentarios y decisiones relevantes acerca de esta implementación.
\end_layout
\begin_layout Standard
\series bold
\begin_inset ERT
status collapsed
\begin_layout Standard
\backslash
vskip
\end_layout
\end_inset
15pt
\begin_inset ERT
status collapsed
\begin_layout Standard
\backslash
hrule
\end_layout
\end_inset
\begin_inset ERT
status collapsed
\begin_layout Standard
\backslash
vskip
\end_layout
\end_inset
11pt
\end_layout
\begin_layout Standard
\series bold
Entregas parciales, no más de una carilla de texto:
\end_layout
\begin_layout Description
\series bold
27 de agosto: ideas y soluciones propuestas, plan de implementación,
\end_layout
\begin_layout Description
\series bold
3 de septiembre: implementación y experimentos.
\end_layout
\begin_layout Standard
\series bold
\begin_inset ERT
status collapsed
\begin_layout Standard
\backslash
vskip
\end_layout
\end_inset
15pt
\begin_inset ERT
status collapsed
\begin_layout Standard
\backslash
hrule
\end_layout
\end_inset
\begin_inset ERT
status collapsed
\begin_layout Standard
\backslash
vskip
\end_layout
\end_inset
11pt
\end_layout
\begin_layout Standard
\series bold
\series bold
Fecha de entrega final: 10 de Septiembre de 2010
\series bold
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