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\begin{document}
\begin{centering}
\bf Laboratorio de M\'etodos Num\'ericos - Segundo cuatrimestre 2010 \\
\bf Trabajo Pr\'actico N\'umero 1: (L)a ra\'\i z del error \\
\end{centering}
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El objetivo del trabajo práctico es realizar un análisis empírico de los siguientes métodos computacionales para calcular $\sqrt{2}$:
\begin{description}
\item[Método de la serie binomial.] En este método se considera la siguiente serie:
\begin{equation*}
(1 + x)^n = 1 + n \, x + \frac{n \,(n - 1)}{2!} x^2 + \frac{n \, (n - 1) \, (n - 2)}{3!} x^3 + \dots
\end{equation*}
Para estimar $\sqrt{2}$ se suma una cantidad finita $k$ de términos de la serie, con $n = 1/2$ y $x = 1$.
\item[Método de las fracciones continuas.] Este método consiste en sumar una cantidad finita $k$ de términos de la fracción continua
\begin{equation*}
\sqrt{2} = 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \dots}}}
\end{equation*}
\item[Método babilonio.] Este método es una adaptación del método de Newton-Raphson para este caso particular, pero es conocido desde por lo menos el siglo II A.C. Comenzando desde una aproximación A de $\sqrt{2}$, se genera la siguiente sucesión, que converge al valor buscado:
\begin{equation*}
\begin{aligned}
x_0 &= A \\
x_{n+1} &= \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{2}{x_n} \right)
\end{aligned}
\end{equation*}
\end{description}
Se pide implementar un programa que estime $\sqrt{2}$ utilizando los 3 métodos con aritmética binaria en punto flotante de $t$ dígitos de precisión (el valor $t$ debe ser un parámetro de la implementación, $t < 52$). >Existen formas alternativas de implementar cada uno de los métodos?
Sobre la base de esta implementación, se pide realizar los siguientes experimentos numéricos:
\begin{enumerate}
\item Graficar el error relativo de cada método en función de la cantidad $k$ de términos considerados. >A partir de qué cantidad de términos se puede detener cada método? >Es cierto que aumentar la cantidad de términos sumados siempre implica una mejor aproximación del valor real?
\item Graficar el error relativo de cada método en función de la cantidad $t$ de dígitos de precisión para la aritmética de punto flotante.
\end{enumerate}
El informe debe contener una descripción detallada de las distintas alternativas que el grupo haya considerado para la implementación de la aritmética de punto flotante de $t$ dígitos de precisión, junto con una discusión de estas alternativas que justifique la opción implementada.
Por otra parte, se debe incluir en la sección correspondiente el código que implementa esta aritmética, junto con todos los comentarios y decisiones relevantes acerca de esta implementación.
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Entregas parciales, no más de una carilla de texto:
\begin{description}
\item[27 de agosto:] ideas y soluciones propuestas, plan de implementación,
\item[3 de septiembre:] implementación y experimentos.
\end{description}
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\hrule
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\textbf{Fecha de entrega final: 10 de Septiembre de 2010}
\end{document}