git » metnum-tp1.git » commit 51ffa35

diff --git a/informe/desarrollo.lyx b/informe/desarrollo.lyx
new file mode 100644
index 0000000..b073d80
--- /dev/null
+++ b/informe/desarrollo.lyx
@@ -0,0 +1,344 @@
+#LyX 1.6.7 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 345
+\begin_document
+\begin_header
+\textclass article
+\use_default_options true
+\language english
+\inputencoding auto
+\font_roman default
+\font_sans default
+\font_typewriter default
+\font_default_family default
+\font_sc false
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+\font_sf_scale 100
+\font_tt_scale 100
+
+\graphics default
+\paperfontsize default
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+\tocdepth 3
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+\papercolumns 1
+\papersides 1
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+\tracking_changes false
+\output_changes false
+\author "" 
+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Section
+Desarrollo
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Artimética de precisión arbitraria
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Para realizar los experimentos se observó que es necesario contar con una
+ aritmética de precisión arbitraria con las operaciones de suma, resta multiplic
+ación y división.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Primero se pensó en hacer una clase que represente números de punto flotante,
+ a la cual se le pueda fijar la presicion de manera dinámica.
+ Para realizar las operaciones de la misma, se evaluó la posibilidad de
+ implementar 
+\begin_inset Quotes eld
+\end_inset
+
+manualmente
+\begin_inset Quotes erd
+\end_inset
+
+ dichas operaciones.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Luego se optó por un enfoque más simple: representar internamente el número
+ con un double (
+\emph on
+IEEE 754 binary64
+\emph default
+).
+ De esta forma, ya que el objetivo es lograr que la precisión sea t < 52,
+ y sabiendo que un double tiene 52 bits en la mantisa (lo que define la
+ presicion), el mismo alcanza para representar cualquier numero con presicion
+ t.
+ Lo que nos permite realizar las operaciones de suma, resta, multiplicación
+ y división utilizando como base las provistas por el procesador.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Otro aspecto relevante es la cantidad de bits del exponente, es decir, cuántos
+ bits asignarle.
+ Luego de discutir el tema y considerar que el exponente sólo define el
+ alcance de la representación (cuál será el mayor y el menor numero representabl
+e), se optó por utilizar la misma cantidad de bits para el exponente que
+ la que se utiliza para representar un double.
+ De esta forma solo tendremos que ocuparnos de la mantisa de dicha representació
+n.
+ Cabe mencionar que para esta decisión se tomo en consideración que las
+ operaciónes aritméticas a realizar son todas con el fín de calcular 
+\begin_inset Formula $\sqrt{2}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La aritmética finalmente funciona de la siguiente manera:
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Cuando se genera un numero con presicion t, lo que se hacer es guardar intername
+nte el mismo como un double, pero se le quita presicion hasta llegar a la
+ presicion t buscada.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Luego, para realizar alguna operacion, se toman los dos operandos (ya con
+ la presicion correcta) y se opera utilizano los doubles de la representacion
+ interna.
+ Una vez obtenido este resultado se genera nuevamente un numero con presicion
+ t a partir de este.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsubsection
+Redondeo/Truncamiento
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Método binomial
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Para este método se realizaron distintas implementaciones teniendo en cuenta
+ ciertas particularidades que se notaron de la fórmula: 
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+que el numerador y denominador de cada término es un producto
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+que cada término es igual al anterior multiplicado por una constante que
+ depende de la iteración actual
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+que la fórmula se puede expresar como una sumatoria
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La primera implementación calcula para cada término el numerador y el denominado
+r y luego realizar la division.
+ Mediante este proceso se calculan todos los terminos (hasta cierto n variable).
+ Para calcular el resultado lo que se hace es, a medida que se genera cada
+ término, se lo suma en una variable que finalmente tendrá el resultado
+ buscado.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La segunda implementación consta en dividir cada termino en productos de
+ fracciones, esto es posible gracias a que:
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula \[
+(1+x)^{n}=1+n\, x+\frac{n\,(n-1)}{2!}x^{2}+\frac{n\,(n-1)\,(n-2)}{3!}x^{3}+\dots\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula \[
+(1+x)^{n}=1+{\textstyle \sum_{i=0}^{\infty}}a_{i}\]
+
+\end_inset
+
+ Con,
+\begin_inset Formula $a_{i}=\prod_{j=0}^{i}b_{j}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $b_{j}=\frac{n-j}{j+1}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Se puede ver tambien que 
+\begin_inset Formula $a_{i+1}=a_{i}.b_{i+1}$
+\end_inset
+
+.
+ Sabiendo esto, lo que se hizo en cada paso fue, en vez de recalcular todo
+ el termino se utiliza el termino anterior y a partir de este (multiplicando
+ por el valor de 
+\begin_inset Formula $b_{j}$
+\end_inset
+
+) se obtiene el termino siguiente.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La tercera y ultima implementacion usa la propiedad conmutativa de la suma,
+ ya que suma los terminos en el orden inverso.
+ Con este fin se calcularon los terminos de manera similar a la implementacion
+ anterior, pero en vez de sumarlos, se los guarda en una lista.
+ Finalmente se recorre la lista de atras haca adelante realizando, ahora
+ sí, la sumatoria de los terminos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Método de las fracciones continuas
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La primera implementacion planteada para este metodo consiste en realizar
+ el calculo de la fraccion partiendo desde la más interior hasta llegar
+ a la exterior.
+ La implementacion, de este modo, no tiene mayores complicaciones.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Otro enfoque que se usó fué el de no realizar las divisiones de las fracciones
+ hasta la última iteración, esto es más sencillo de ver de la siguiente
+ manera:
+\begin_inset Formula \[
+\sqrt{2}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\dots}}}\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula \[
+\sqrt{2}=1+lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Siendo:
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula \[
+\begin{cases}
+a_{1}=\frac{1}{2}\\
+a_{i+1}=\frac{1}{2+a_{i}}\end{cases}\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+A partir de esto, si se considera: 
+\begin_inset Formula $a_{i}=\frac{b_{i}}{c_{i}}$
+\end_inset
+
+, se obtiene:
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula \[
+a_{i+1}=\frac{1}{2+a_{i}}=\frac{1}{2+\frac{b_{i}}{c_{i}}}=\frac{1}{\frac{2c_{i}+b_{i}}{c_{i}}}=\frac{c_{i}}{2c_{i}+b_{i}}=\frac{b_{i+1}}{c_{i+1}}\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Finalmente se obtiene:
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula \[
+\sqrt{2}=1+lim_{n\rightarrow\infty}\frac{b_{n}}{c_{n}}\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Con:
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula \[
+\begin{cases}
+b_{1}=1\\
+b_{i+1}=c_{i}\end{cases}\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula \[
+\begin{cases}
+c_{1}=2\\
+c_{i+1}=2c_{i}+b_{i}\end{cases}\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Utilizando esto es posible no realizar ninguna division hasta la ultima
+ iteración.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Metodo Babilonio
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Para este método sólo se realizó una implementación, la misma es una traduccion
+ bastante literal de la formula que el método presenta.
+ La aproximacion inicial 
+\emph on
+A 
+\emph default
+se fijó como 
+\begin_inset Formula $2$
+\end_inset
+
+, pero se estableció también como parámetro opcional de entrada.
+ De esta forma es posible ver cómo el mismo varía según el 
+\emph on
+A
+\emph default
+ elegido.
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/informe/informe.lyx b/informe/informe.lyx
new file mode 100644
index 0000000..286e305
--- /dev/null
+++ b/informe/informe.lyx
@@ -0,0 +1,97 @@
+#LyX 1.6.7 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
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+\author "" 
+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Title
+Métodos Nuéricos
+\end_layout
+
+\begin_layout Title
+Trabajo Práctico I
+\end_layout
+
+\begin_layout Author
+Matías Pérez (2/05)
+\end_layout
+
+\begin_layout Author
+Alberto Bertogli (xxx)
+\end_layout
+
+\begin_layout Author
+Rodrigo Campos Catelin (561/06)
+\end_layout
+
+\begin_layout Abstract
+El siguiente trabajo trata sobre los problemas de moderlar los números reales
+ mediante una aritmética finita.
+ Con tal fin, se usará la aritmética del computador (base 2) y se analizará
+ el comportamiento de distintos algoritmos iterativos variando la precisión
+ de los números involucrados.
+\end_layout
+
+\begin_layout Abstract
+Palabras clave: aritmética finita, error numérico, precisión arbitraria,
+ métodos iterativos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand include
+filename "introduccionTeorica.lyx"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand include
+filename "desarrollo.lyx"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/informe/introduccionTeorica.lyx b/informe/introduccionTeorica.lyx
new file mode 100644
index 0000000..7c2d946
--- /dev/null
+++ b/informe/introduccionTeorica.lyx
@@ -0,0 +1,138 @@
+#LyX 1.6.7 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
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+\author "" 
+\author "" 
+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Section
+Introducción teórica
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Existen varios métodos iterativos para aproximar
+\begin_inset Formula $\sqrt{2}$
+\end_inset
+
+.
+ Para la realización de este trabajo consideramos los siguientes métodos:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Método de la serie binomial: 
+\begin_inset Formula \[
+(1+x)^{n}=1+n\, x+\frac{n\,(n-1)}{2!}x^{2}+\frac{n\,(n-1)\,(n-2)}{3!}x^{3}+\dots\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+Para estimar 
+\begin_inset Formula $\sqrt{2}$
+\end_inset
+
+ se suma una cantidad finita 
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+ de términos de la serie, con 
+\begin_inset Formula $n=1/2$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $x=1$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Itemize
+Método de las fracciones contínuas
+\begin_inset Formula \[
+\sqrt{2}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\dots}}}\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+Este método consiste en sumar una cantidad finita 
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+ de términos de la fracción continua presentada.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Itemize
+Método babilonio
+\begin_inset Formula \[
+\begin{aligned}x_{0} & =A\\
+x_{n+1} & =\frac{1}{2}\left(x_{n}+\frac{2}{x_{n}}\right)\end{aligned}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+Este método es una adaptación del método de Newton-Raphson para este caso
+ particular, pero es conocido desde por lo menos el siglo II A.C.
+ Comenzando desde una aproximación A de 
+\begin_inset Formula $\sqrt{2}$
+\end_inset
+
+, la sucesión converge al valor buscado.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Standard
+
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/informe/pautas.pdf b/informe/pautas.pdf
new file mode 100644
index 0000000..a5b7c8b
Binary files /dev/null and b/informe/pautas.pdf differ
diff --git a/informe/tp1_2_2010.lyx b/informe/tp1_2_2010.lyx
new file mode 100644
index 0000000..f161de4
--- /dev/null
+++ b/informe/tp1_2_2010.lyx
@@ -0,0 +1,375 @@
+#LyX file created by tex2lyx 1.6.7
+\lyxformat 264
+\begin_document
+\begin_header
+\textclass article
+\begin_preamble
+
+\usepackage{a4wide}
+
+\parindent = 0 pt
+\parskip = 11 pt
+% \usepackage[width=15.8cm, left=3cm, top=2.5cm, height= 24.5cm]{geometry}
+
+% \pagestyle{empty}
+
+
+\end_preamble
+\language english
+\inputencoding utf8
+\font_roman default
+\font_sans default
+\font_typewriter default
+\font_default_family default
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+\font_osf false
+\font_sf_scale 100
+\font_tt_scale 100
+\graphics default
+\paperfontsize 11
+\spacing single
+\papersize a4paper
+\use_geometry false
+\use_amsmath 2
+\use_esint 1
+\cite_engine basic
+\use_bibtopic false
+\paperorientation portrait
+\secnumdepth 3
+\tocdepth 3
+\paragraph_separation indent
+\defskip medskip
+\quotes_language english
+\papercolumns 1
+\papersides 1
+\paperpagestyle default
+\tracking_changes false
+\output_changes false
+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Standard
+\align center
+
+
+\series bold
+Laboratorio de Métodos Numéricos - Segundo cuatrimestre 2010 
+\newline
+ Trabajo Práctico Número 1: (L)a raí z del error 
+\newline
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+
+
+\begin_inset ERT
+status collapsed
+
+\begin_layout Standard
+
+
+\backslash
+vskip
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+ 25pt 
+\begin_inset ERT
+status collapsed
+
+\begin_layout Standard
+
+
+\backslash
+hrule
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+ 
+\begin_inset ERT
+status collapsed
+
+\begin_layout Standard
+
+
+\backslash
+vskip
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+ 11pt
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+
+El objetivo del trabajo práctico es realizar un análisis empírico de los siguientes métodos computacionales para calcular 
+\begin_inset Formula $\sqrt{2}$
+\end_inset
+
+: 
+\end_layout
+
+\begin_layout Description
+
+\series bold
+
+Método de la serie binomial. En este método se considera la siguiente serie: 
+\begin_inset Formula \begin{equation*}
+(1 + x)^n = 1 + n \, x + \frac{n \,(n - 1)}{2!} x^2 + \frac{n \, (n - 1) \, (n - 2)}{3!} x^3 + \dots
+\end{equation*}
+\end_inset
+
+ Para estimar 
+\begin_inset Formula $\sqrt{2}$
+\end_inset
+
+ se suma una cantidad finita 
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+ de términos de la serie, con 
+\begin_inset Formula $n = 1/2$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $x = 1$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Description
+
+\series bold
+
+Método de las fracciones continuas. Este método consiste en sumar una cantidad finita 
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+ de términos de la fracción continua 
+\begin_inset Formula \begin{equation*}
+\sqrt{2} = 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \dots}}}
+\end{equation*}
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Description
+
+\series bold
+
+Método babilonio. Este método es una adaptación del método de Newton-Raphson para este caso particular, pero es conocido desde por lo menos el siglo II A.C. Comenzando desde una aproximación A de 
+\begin_inset Formula $\sqrt{2}$
+\end_inset
+
+, se genera la siguiente sucesión, que converge al valor buscado: 
+\begin_inset Formula \begin{equation*}
+\begin{aligned}
+x_0 &=  A \\
+x_{n+1} &=  \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{2}{x_n} \right)
+\end{aligned}
+\end{equation*}
+\end_inset
+
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+
+Se pide implementar un programa que estime 
+\begin_inset Formula $\sqrt{2}$
+\end_inset
+
+ utilizando los 3 métodos con aritmética binaria en punto flotante de 
+\begin_inset Formula $t$
+\end_inset
+
+ dígitos de precisión (el valor 
+\begin_inset Formula $t$
+\end_inset
+
+ debe ser un parámetro de la implementación, 
+\begin_inset Formula $t < 52$
+\end_inset
+
+). >Existen formas alternativas de implementar cada uno de los métodos? Sobre la base de esta implementación, se pide realizar los siguientes experimentos numéricos: 
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+
+Graficar el error relativo de cada método en función de la cantidad 
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+ de términos considerados. >A partir de qué cantidad de términos se puede detener cada método? >Es cierto que aumentar la cantidad de términos sumados siempre implica una mejor aproximación del valor real? 
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+
+Graficar el error relativo de cada método en función de la cantidad 
+\begin_inset Formula $t$
+\end_inset
+
+ de dígitos de precisión para la aritmética de punto flotante. 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+
+El informe debe contener una descripción detallada de las distintas alternativas que el grupo haya considerado para la implementación de la aritmética de punto flotante de 
+\begin_inset Formula $t$
+\end_inset
+
+ dígitos de precisión, junto con una discusión de estas alternativas que justifique la opción implementada.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+
+Por otra parte, se debe incluir en la sección correspondiente el código que implementa esta aritmética, junto con todos los comentarios y decisiones relevantes acerca de esta implementación.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+
+
+\begin_inset ERT
+status collapsed
+
+\begin_layout Standard
+
+
+\backslash
+vskip
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+ 15pt 
+\begin_inset ERT
+status collapsed
+
+\begin_layout Standard
+
+
+\backslash
+hrule
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+ 
+\begin_inset ERT
+status collapsed
+
+\begin_layout Standard
+
+
+\backslash
+vskip
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+ 11pt
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+
+Entregas parciales, no más de una carilla de texto: 
+\end_layout
+
+\begin_layout Description
+
+\series bold
+
+27 de agosto: ideas y soluciones propuestas, plan de implementación, 
+\end_layout
+
+\begin_layout Description
+
+\series bold
+
+3 de septiembre: implementación y experimentos. 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+
+
+\begin_inset ERT
+status collapsed
+
+\begin_layout Standard
+
+
+\backslash
+vskip
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+ 15pt 
+\begin_inset ERT
+status collapsed
+
+\begin_layout Standard
+
+
+\backslash
+hrule
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+ 
+\begin_inset ERT
+status collapsed
+
+\begin_layout Standard
+
+
+\backslash
+vskip
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+ 11pt
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+
+
+\series bold
+Fecha de entrega final: 10 de Septiembre de 2010
+\series bold
+
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/informe/tp1_2_2010.pdf b/informe/tp1_2_2010.pdf
new file mode 100644
index 0000000..993205b
Binary files /dev/null and b/informe/tp1_2_2010.pdf differ
diff --git a/informe/tp1_2_2010.tex b/informe/tp1_2_2010.tex
new file mode 100644
index 0000000..bed346b
--- /dev/null
+++ b/informe/tp1_2_2010.tex
@@ -0,0 +1,73 @@
+\documentclass[11pt, a4paper]{article}
+\usepackage{a4wide}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{amsmath}
+
+\parindent = 0 pt
+\parskip = 11 pt
+% \usepackage[width=15.8cm, left=3cm, top=2.5cm, height= 24.5cm]{geometry}
+
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+% \pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\begin{centering}
+\bf Laboratorio de M\'etodos Num\'ericos - Segundo cuatrimestre 2010 \\
+\bf Trabajo Pr\'actico N\'umero 1: (L)a ra\'\i z del error \\
+\end{centering}
+
+\vskip 25pt
+\hrule
+\vskip 11pt
+
+El objetivo del trabajo práctico es realizar un análisis empírico de los siguientes métodos computacionales para calcular $\sqrt{2}$:
+\begin{description}
+\item[Método de la serie binomial.] En este método se considera la siguiente serie:
+\begin{equation*}
+(1 + x)^n = 1 + n \, x + \frac{n \,(n - 1)}{2!} x^2 + \frac{n \, (n - 1) \, (n - 2)}{3!} x^3 + \dots
+\end{equation*}
+Para estimar $\sqrt{2}$ se suma una cantidad finita $k$ de términos de la serie, con $n = 1/2$ y $x = 1$.
+
+\item[Método de las fracciones continuas.] Este método consiste en sumar una cantidad finita $k$ de términos de la fracción continua
+\begin{equation*}
+\sqrt{2} = 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \dots}}}
+\end{equation*}
+
+\item[Método babilonio.] Este método es una adaptación del método de Newton-Raphson para este caso particular, pero es conocido desde por lo menos el siglo II A.C. Comenzando desde una aproximación A de $\sqrt{2}$, se genera la siguiente sucesión, que converge al valor buscado:
+\begin{equation*}
+\begin{aligned}
+x_0 &=  A \\
+x_{n+1} &=  \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{2}{x_n} \right)
+\end{aligned}
+\end{equation*}
+\end{description}
+
+Se pide implementar un programa que estime $\sqrt{2}$ utilizando los 3 métodos con aritmética binaria en punto flotante de $t$ dígitos de precisión (el valor $t$ debe ser un parámetro de la implementación, $t < 52$). >Existen formas alternativas de implementar cada uno de los métodos? 
+Sobre la base de esta implementación, se pide realizar los siguientes experimentos numéricos:
+\begin{enumerate}
+\item Graficar el error relativo de cada método en función de la cantidad $k$ de términos considerados. >A partir de qué cantidad de términos se puede detener cada método? >Es cierto que aumentar la cantidad de términos sumados siempre implica una mejor aproximación del valor real?
+\item Graficar el error relativo de cada método en función de la cantidad $t$ de dígitos de precisión para la aritmética de punto flotante.
+\end{enumerate}
+
+El informe debe contener una descripción detallada de las distintas alternativas que el grupo haya considerado para la implementación de la aritmética de punto flotante de $t$ dígitos de precisión, junto con una discusión de estas alternativas que justifique la opción implementada.
+
+Por otra parte, se debe incluir en la sección correspondiente el código que implementa esta aritmética, junto con todos los comentarios y decisiones relevantes acerca de esta implementación.
+
+\vskip 15pt
+\hrule
+\vskip 11pt
+
+Entregas parciales, no más de una carilla de texto:
+\begin{description}
+ \item[27 de agosto:] ideas y soluciones propuestas, plan de implementación, 
+ \item[3 de septiembre:] implementación y experimentos.
+\end{description}
+
+\vskip 15pt
+\hrule
+\vskip 11pt
+
+\textbf{Fecha de entrega final: 10 de Septiembre de 2010}
+
+\end{document}